微積分的本質 — 3Blue1Brown

🎯 項目定位 “微積分的本質” 是 3Blue1Brown（Grant Sanderson）推出的一套視覺動畫驅動的微積分系列課程，旨在讓學習者透過直觀的動畫與幾何思考，切實體會並“發明”微積分的核心思想。

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📚 內容結構（共12章，約3小時）

1. The essence of calculus

• 概述課程動機：如何從圖像中“發現”微積分，包括圓面積公式的重構。

2. Derivative paradox

• 導數本質：揭示“瞬時變化率”與“極限”的悖論。

3. Geometric derivatives

• 透過幾何拆分方式推導導數公式（如冪函數的導數），讓公式變得可“發明”。

4. Visualization of chain & product rule

• 形象演示鏈式法則與乘積法則，從圖形變換的角度理解導數組合。

5. Euler’s number e

• 探討指數函數為何特殊，e 的定義來自於“自己導數”的唯一底數。

6. Implicit differentiation

• 隱式微分：理解兩個變量關係下，如何求dy/dx。

7. Limits, L'Hôpital’s, ε–δ

• 嚴謹定義極限、洛必達法則與 ε–δ，構建微積分的公理基礎。

8. Integration & Fundamental Theorem

• 解釋積分的意義、與導數互逆關係（微積分基本定理）。

9. Area vs. slope

• 探討“面積”與“斜率”之間深層聯繫。

10. Higher-order derivatives

• 二階、三階導數及其物理/幾何意義。

11. Taylor series

• 討論泰勒級數作為任意函數在局部的多項式近似。

12. Alternative derivative visualized

• 引入另一種導數的可視化方式，為後續高階微積分鋪墊

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🧩 課程特點

• 視覺優先：動畫與幾何畫面貫穿始終，讓抽象符號具有直觀意義
• 重現微積分的“發明”路徑：不僅學會公式，還理解為何存在這些法則
• 逼近 vs 極限統一：強調將Δx看作“小但非零”進行逼近，再透過極限獲得精確
• 理論與直覺兼顧：既有嚴謹定義，也輔以直觀圖示和常見推導。

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🧠 目標人群

• 已具備高中微積分基礎的學習者。
• 想要突破公式背後的直覺與理解瓶頸，深化對導數、積分、極限、泰勒展開及鏈式法則等的感知。

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⏱️ 推薦學習方式

• 收看 YouTube 官方教程（全套免費）
• 配合傳統教材練習或數學分析課鞏固 ε–δ 概念及更正式證明。
• 每章建議邊看動畫，邊用筆記 + 圖形同步理解（“你也像數學家一樣推理”）。